Mengen und Mengenoperationen

Eine Menge fasst verschiedene Objekte, die Elemente, zusammen. Mit $x \in A$ schreibt man “$x$ ist Element von $A$” und mit $x \notin A$ das Gegenteil. Man gibt Mengen auf zwei Arten an:

Die leere Menge $\emptyset$ hat kein Element. Eine Menge $A$ ist Teilmenge von $B$, geschrieben $A \subseteq B$, wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ liegt:

Gilt zusätzlich $A \neq B$, heißt $A$ echte Teilmenge, geschrieben $A \subsetneq B$. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie sich gegenseitig enthalten:

Stell dir eine Tüte mit Murmeln vor. Eine Menge sagt nur, welche Sorten drin sind. $\{1, 2, 2, 3\}$ und $\{3, 1, 2\}$ sind dieselbe Menge. Eine Teilmenge ist eine Auswahl aus der Tüte, auch die leere Auswahl und die ganze Tüte zählen dazu.

$\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ sind verschieden. $\emptyset$ ist eine leere Tüte. $\{\emptyset\}$ ist eine Tüte, in der genau ein Ding liegt, nämlich eine leere Tüte. Also hat $\emptyset$ null Elemente und $\{\emptyset\}$ ein Element.

Für Mengen $A$ und $B$ sind

die Vereinigung, der Schnitt und die Differenz.

Die Vereinigung wirft beide Tüten zusammen. Der Schnitt behält nur, was in beiden Tüten liegt. Die Differenz $A \setminus B$ nimmt aus $A$ alles heraus, was auch in $B$ liegt.

Die Differenz ist nicht symmetrisch. Im Beispiel ist $A \setminus B = \{1,2\}$, aber $B \setminus A = \{5\}$. Vereinigung und Schnitt dagegen sind vertauschbar: $A \cup B = B \cup A$ und $A \cap B = B \cap A$.