Komplexe Zahlen: Betrag und Polarform

In der komplexen Zahlenebene wird $z = a + b\,i$ als Punkt $(a, b)$ gezeichnet. Die waagerechte Achse ist die reelle Achse und die senkrechte Achse die imaginäre Achse.

Der Betrag von $z$ ist der Abstand des Punkts vom Ursprung. Nach dem Satz des Pythagoras gilt

Der Betrag sagt, wie weit die Zahl vom Nullpunkt entfernt ist, ganz gleich in welcher Richtung. Er ist wie die Länge eines Pfeils vom Ursprung zum Punkt.

Das Argument $\varphi$ einer komplexen Zahl $z \neq 0$ ist der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Pfeil zu $z$, gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Man wählt meist den Wert im Bereich $-\pi < \varphi \leq \pi$, in Grad also $-180^\circ < \varphi \leq 180^\circ$.

Der Winkel sagt, in welche Richtung der Pfeil zeigt. $0^\circ$ ist nach rechts, $90^\circ$ nach oben, $180^\circ$ nach links.

Der Taschenrechner liefert für $\arctan$ nur Werte zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$. Liegt die Zahl links der imaginären Achse ($a < 0$), stimmt das Ergebnis nicht. Für $z = -1 + i$ gibt $\arctan(1/(-1)) = -45^\circ$, der Pfeil zeigt aber nach links oben, also ist $\varphi = 135^\circ$. Für $z = -1 - i$ gibt $\arctan(1/1)$ den Wert $45^\circ$, richtig ist $\varphi = -135^\circ$. Zeichne dir den Punkt immer kurz auf und bestimme den Quadranten.

Mit Betrag $r = |z|$ und Winkel $\varphi$ gilt die Polarform (auch trigonometrische Darstellung)

Zwischen den Darstellungen gilt:

Die Form $a + b\,i$ sagt: so weit nach rechts, so weit nach oben. Die Polarform sagt: so weit weg vom Ursprung, in diese Richtung. Beides beschreibt denselben Punkt.