Komplexe Zahlen: Grundlagen

Die imaginäre Einheit $i$ ist die Zahl mit

Eine komplexe Zahl hat die Form

Dabei heißt $a = \operatorname{Re}(z)$ der Realteil und $b = \operatorname{Im}(z)$ der Imaginärteil. Beide sind reelle Zahlen. Die Menge aller komplexen Zahlen heißt $\mathbb{C}$.

Eine komplexe Zahl besteht aus zwei reellen Zahlen: einem Teil “ohne $i$” und einem Teil “mit $i$”. Mit $i$ rechnest du wie mit einer Variablen, nur dass du jedes $i^2$ durch $-1$ ersetzt. Die Gleichung $x^2 = -1$ hat in $\mathbb{R}$ keine Lösung, in $\mathbb{C}$ aber die Lösungen $i$ und $-i$.

Für $z_1 = a + b\,i$ und $z_2 = c + d\,i$ gilt

Die konjugiert komplexe Zahl zu $z = a + b\,i$ ist $\bar z = a - b\,i$. Für die Division erweitert man mit dem Konjugierten des Nenners:

Addieren und Subtrahieren geht getrennt für Real- und Imaginärteil. Beim Multiplizieren multiplizierst du aus wie bei Klammern und ersetzt $i^2$ durch $-1$. Beim Dividieren machst du den Nenner reell: Du erweiterst mit seinem Konjugierten, denn $(c + d\,i)(c - d\,i) = c^2 + d^2$ ist eine gewöhnliche Zahl.

Das Vorzeichen bei $i^2$ geht gern verloren. Es gilt $-8i^2 = -8 \cdot (-1) = +8$, nicht $-8$. Rechne bei Produkten immer zuerst alle Terme aus und ersetze erst danach $i^2$ durch $-1$.